Question

5．已知数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S_n为它的前n项和．
（1）当S₁，S₃，S₄成等差数列时，求q的值；
（2）若b_n=a_na_n+1（n∈N₊），试求数列{b_n}的前n项和S_n的公式．

Answer 1

分析 （1）通过S₁，S₃，S₄成等差数列，利用2S₃=S₁+S₄可得q（q²-q-1）=0，计算即可；
（2）通过（1）计算可得{b_n}是首项为${b_1}={a_1}{a_2}={a^2}q$，公比为q²的等比数列，进而可得结论．

解答 解：（1）由题意可得：${a_n}=a{q^{n-1}}（q≠0）$，
当S₁，S₃，S₄成等差数列时，2S₃=S₁+S₄，
∵S₁=a₁=a，
∴${S_3}={a_1}+{a_2}+{a_3}=a（1+q+{q^2}）$，
${S_4}={a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}=a（1+q+{q^2}+{q^3}）$，
∴2a（1+q+q²）=a+a（1+q+q²+q³）（a≠0），
即：q（q²-q-1）=0，
解得：q=0（舍去）或$q=\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$或$q=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$；
（2）${a_n}=a{q^{n-1}}（q≠0）$，$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{{{a_{n-1}}{a_n}}}={q^2}$，
∴{b_n}是首项为${b_1}={a_1}{a_2}={a^2}q$，公比为q²的等比数列，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n{a}^{2}，}&{q=1}\\{-n{a}^{2}，}&{q=-1}\\{\frac{{a}^{2}q（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}，}&{q≠1且q≠-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的相关知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．