题目内容

10．在△ABC中，sinB+sinAcosC=0，求tanB的最大值．

分析 由条件可得A为锐角，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得tanC=-2tanA，再根据tanB=-tan（A+C）=$\frac{1}{tanA+\frac{1}{tanA}}$，利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：△ABC中，由sinB+sinAcosC=0，可得C为钝角，故A为锐角，故tanA＞0．
再根据sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-sinAcosC，
∴2sinAcosC=-cosAsinC，可得tanC=-2tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{tanAtanC-1}$=$\frac{-tanA}{-{2tan}^{2}A-1}$=$\frac{tanA}{{tan}^{2}A+1}$=$\frac{1}{tanA+\frac{1}{tanA}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{tanA•\frac{1}{tanA}}}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当tanA=1，即A=$\frac{π}{4}$时，tanB取得最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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