Question

函数f（x）=

x+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用单调性定义进行证明．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,奇函数

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义，求出b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用函数单调性的定义进行判断、证明．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

-x+b

1+x2

=-

x+b

1+x2

，
∴b=0，
∴f（x）=

x

1+x2

；
（2）f（x）在（0，1）上单调递增．
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，定义法是解决该类问题的基本方法．