Question

半径为1的球的内接正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的侧面积为3

3

，则正三棱柱的高为（　　）

• A、2

  2

• B、

  3

• C、2

  3

• D、

  2

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：球

分析：画出图形，设底面正三角形的边长为a，判断外接球的球心位置，利用棱柱的侧面积表示出棱柱的高，然后根据勾股定理求得棱柱的高的一半，进而得到结果．

解答： 解：如图所示，设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O₁，O₂，球心为O，
底面正三角形的边长为a，高为h，
则AO₂=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a．棱柱的侧面积3ah=3

3

，h=

3

a

．
由已知得O₁O₂⊥底面，
在Rt△OAO₂中，∠AO₂O=90°，由勾股定理得OO₂=

3

2a

，
(

3

3

a)2+(

3

2a

)2=12，解答a=

6

2

．
h=

3

a

=

3

6 2

=

2

故选：D．

点评：本题考查了球的内接正三棱柱的侧面积，球的半径的求法，考查空间想象能力以及计算能力．