Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2；数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b₁=1，b₂=2，$\frac{T_n}{{{T_{n+1}}}}=\frac{b_n}{{{b_{n+2}}}}$．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$恰为数列{b_n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1，即可求得a_n=2a_n-1，则数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列；由$\frac{T_n}{{{T_{n+1}}}}=\frac{b_n}{{{b_{n+2}}}}$．采用“累乘法”即可求得当n≥2时，b_n+1-b_n-1=2，数列{b_n}的奇数项，偶数项分别成立等差数列，b₃=T₂=b₁+b₂=3，b₁+b₃=2b₂，数列{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列，即可求得数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$，作差比较大小，c_n＞c_n+1＞1，根据数列的单调性，即可求得存在n=2，使得b₇=c₂，b₃=c₃．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2，则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，则a_n=2a_n-1，
由S₁=2a₁-2，则a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a_n=2ⁿ，
由$\frac{T_n}{{{T_{n+1}}}}=\frac{b_n}{{{b_{n+2}}}}$．
则$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{3}}$，$\frac{{T}_{2}}{{T}_{3}}$=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{4}}$，$\frac{{T}_{3}}{{T}_{4}}$=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{5}}$，…，$\frac{{T}_{n-1}}{{T}_{n}}$=$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n+1}}$．$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$
以上各式相乘，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$，则2T_n=b_nb_n+1，
当n≥2时，2T_n-1=b_n-1b_n，两式相减得：2b_n=b_n（b_n+1-b_n-1），即b_n+1-b_n-1=2，
∴数列{b_n}的奇数项，偶数项分别成等差数列，
由$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{3}}$，则b₃=T₂=b₁+b₂=3，b₁+b₃=2b₂，
∴数列{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n；
（2）当n=1时，$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$无意义，
设c_n=$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$，（n≥2，n∈N*），
则c_n+1-c_n=$\frac{{2}^{n+1}+n+2}{{2}^{n+1}-（n+2）}$-$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$=$\frac{-n•{2}^{n+1}}{[{2}^{n+1}-（n+2）][{2}^{n}-（n+1）]}$＜0，
即c_n＞c_n+1＞1，
显然2ⁿ+n+1＞2ⁿ-（n+1），则c₂=7＞c₃=3＞c₄＞…＞1，
∴存在n=2，使得b₇=c₂，b₃=c₃，
下面证明不存在c₂=2，否则，c_n=$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$=2，即2ⁿ=3（n+1），
此时右边为3的倍数，而2ⁿ不可能是3的倍数，故该不等式成立，
综上，满足要求的b_n为b₃，b₇．

点评 本题考查数列的综合应用，考查等比数列及等差数列的通项公式及证明，考查数列单调性的判断，考查转化思想，属于难题．