Question

已知函数f（x）的定义域为R，且在（0，+∞）上是单调增函数．
（1）若f（x）是R上的奇函数，x＞0时，f（x）=x²+2x+3．求函数f（x）的解析式．
（2）若f（3a²-a+1）＞f（a²+3a+7），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由于f（x）是R上的奇函数，则当x=0时，f（0）=0，当x＜0时，-x＞0，利用已知解析式，结合奇函数，即可得到f（x）的表达式；
（2）由函数的单调性，得到二次不等式，解出即可．

解答： 解：（1）由于f（x）是R上的奇函数，
则当x=0时，f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=x²-2x+3，又f（-x）=-f（x），
则f（x）=-x²+2x-3，
则f（x）=

x2+2x+3，x＞0 0，x=0 -x2+2x-3，x＜0

；
（2）由二次函数的对称轴和区间的关系可得，
x＞0为增区间，x＜0也为增区间，
f（x）在R上递增，
则f（3a²-a+1）＞f（a²+3a+7），
即为3a²-a+1＞a²+3a+7，
解得，a＞3或a＜-1．
则实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及运用，考查函数解析式的求法和不等式的解法，属于中档题．