Question

已知函数f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，则函数f（x）过点（2，1）的切线方程为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：根据切点在函数上，设切点坐标，利用导数的几何意义可以求得切线的斜率，写出切线方程，再根据切线过点（2，1），求出t的值，从而求得切线方程．

解答： 解：∵f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，∴f′（x）=

3

2

x²-

3

2

，
设切点坐标为（t，

1

2

t³-

3

2

t），
根据导数的几何意义，切线的斜率k=f′（t）=

3

2

t²-

3

2

，
∴由直线方程的点斜式可得，切线方程为y-（

1

2

t³-

3

2

t）=（

3

2

t²-

3

2

）（x-t），
∵切线过点（2，1），
∴1-（

1

2

t³-

3

2

t）=（

3

2

t²-

3

2

）（2-t），
∴t³-3t²+4=0，即（t-2）²（t+1）=0，
∴t=-1或t=2，
∴切点为（-1，1），斜率为0，或切点为（2，

5

2

），斜率为

9

2

，
∴切线方程为y=1或y-

5

2

=

9

2

（x-2），即y=1或9x-2y-16=0．
故答案为：y=1或9x-2y-16=0．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的点斜式方程的运用．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．涉及了三次方程的求解，解方程的关键在于因式分解，转化为二次方程进行求解．属于中档题．