Question

如图，四棱锥P-ABCD的俯视图是菱形ABCD，顶点P的投影恰好为A．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若AC=2a，BD=4a，四棱锥P-ABCD的体积V=2a³，求PC的长．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明PA⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥PC；
（2）利用V=

1

3

×SABCD×PA，P-ABCD的体积V=2a³，求出PA，即可求出PC．

解答： （1）证明：依题意，PA⊥底面ABCD…（2分）
因为BD?底面ABCD，所以PA⊥BD…（3分）
依题意，ABCD是菱形，AC⊥BD…（4分）
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（6分），
所以BD⊥PC…（7分）．
（2）解：V=

1

3

×SABCD×PA…（8分），SABCD=

1

2

×AC×BD=4a2…（10分），
因为P-ABCD的体积V=2a³，
所以2a3=

1

3

×4a2×PA，所以PA=

3

2

a…（12分），
所以PC=

PA2+AC2

=

5

2

a…（13分）．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，正确运用线面垂直的判定与性质是关键．