Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

9

2

，且对任意的n＞1，n∈N^*均满足S_n+S_n-1=2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（x）=x•log₃x，b₁=3，b_n=f（a_n）（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n=3a_n-1，a₂=2a₁=9，由此能求出an=

9 2 ，n=1 3n，n≥2

．
（2）由已知条件求出bn=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n+S_n-1=2a_n，n≥2，①
∴S_n-1+S_n-2=2a_n-1，n≥3，②
①-②，得：a_n+a_n-1=2a_n-2a_n-1，n≥2．
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}从第2项起是公比为3的等比数列，
S₂+S₁=2a₂，a₁+a₂+a₁=2a₂，
∵a₁=

9

2

，∴a₂=2a₁=9，
∴当n≥2时，an=9•3n-2=3ⁿ，
∴an=

9 2 ，n=1 3n，n≥2

．
（2）n≥2时，f（x）=x•log₃x，b₁=3，
b_n=f（a_n）=3ⁿ•log33n=n•3ⁿ，n=1时也成立，
∴bn=n•3n，
∴T_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ，①
3T_n=1×3²+2×3³+…+n×3ⁿ⁺¹，②
两式作差得：
-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

3

4

+(

n

2

-

1

4

)•3n+1．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．