Question

已知函数f（x）=ax²-4x+2，
（1）若f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）已知a≤1，若函数y=f（x）-log₂

x

8

在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的对称轴，从而求出a的值，进而求出函数f（x）的表达式；
（2）设r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]），问题转化为两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的对称轴为x=2，
即-

4

2a

=2，即a=1，
∴f（x）=x²-4x+2．
（2）因为y=f(x)-log2

x

8

=ax2-4x+5-log2x
设r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）
则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点
当a=0时，r（x）=-4x+5在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）为增函数，
且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，
所以函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点
当a＜0时，r（x）图象开口向下，对称轴为x=

2

a

＜0
所以r（x）在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）为增函数，
则由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

 ⇒

a+1≥0 4a-3≤1

 ⇒-1≤a≤1，所以-1≤a＜0，
当0＜a≤1时，r（x）图象开口向上，对称轴为x=

2

a

≥2，
所以r（x）在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）为增函数，
则由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

 ⇒

a+1≥0 4a-3≤1

 ⇒-1≤a≤1，所以0＜a≤1，
综上所述，实数a的取值范围为[-1，1]．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性，考查了分类讨论思想，是一道中档题．