Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-3

＜0}，B={x|（x-a）（x-a²-2）＜0}．
（1）当a=

1

2

时，求（∁_UB）∩A；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵a=

1

2

时，A={x|

x-2

x-3

＜0}={x|2＜x＜3}，
B={x|（x-

1

2

）（x-

1

4

-2）＜0}={x|

1

2

＜x＜

9

4

}．
全集U=R，
∴C_UB={x|x≤

1

2

，或x≥

9

4

}．
∴（C_UB）∩A={x|

9

4

≤x＜3}；
（2）∵命题p：x∈A，命题q：x∈B，q是p的必要条件，
∴A⊆B．
∵a²+2-a=（a-

1

2

）²+

7

4

≥

7

4

，
∴a²+2＞a，
∵A={x|2＜x＜3}，B={x|（x-a）（x-a²-2）＜0}，
∴

a≤2 a2+2≥3

，解得a≤-1或1≤a≤2，
故实数a的取值范围（-∞，-1]，[1，2]．