Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)n•an-1-2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=a_n•sin

(2n-17)π

2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，有T_n＜

4

7

成立．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

an-1

(-1)n•an-1-2

，两边取倒数，并整理，即可证得数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比数列，利用等比数列的通项公式，可求{a_n}的通项公式；
（2）先确定数列{b_n}的通项公式，再进行放缩，利用等比数列的求和公式，即可证得结论．

解答： 证明：（1）∵a_n=

an-1

(-1)n•an-1-2

，
∴

1

an

+（-1）ⁿ=（-2）[

1

an-1

+（-1）^n-1]
又

1

a1

+（-1）=3，
∴数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是首项为3，公比为-2的等比数列．…4′
从而

1

an

+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1，
∴a_n=

1

3•(-2)n-1-(-1)n

…6′
（2）b_n=a_n•sin

(2n-17)π

2

=

1

3•2n-1+1

…8′
当n≥3时，则T_n=

1

1+3

+

1

3•2+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

＜

4

7

．
∵T₂＜T₃＜

4

7

，
∴对任意n∈N^*，有T_n＜

4

7

成立． …14′

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确证明数列是等比数列是关键．