Question

已知f（x）=x²-2x-ln（x+1）²．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数F（x）=f（x）-x²+3x+a在[-

1

2

，2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0
（2）先求出F（x）=x-ln（x+1）²+a，再求导，讨论其单调性，得到

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或F（1）=0，继而求出范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-2x-ln（x+1）²的定义域为{x|x≠-1}，
∵f′（x）=2x-2-

2

x+1

=

2(x2-2)

x+1

．
令f′（x）＞0，
则x∈（-

2

，-1）∪（

2

，+∞），
故f（x）的单调递增区间为（-

2

，-1）和（

2

，+∞）；
（2）由已知得F（x）=x-ln（x+1）²+a，
∴F′（x）=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，
∴当x＜-1，或x＞1时，F′（x）＞0，当-1＜x＜1，F′（x）＜0，
∴当x∈[

1

2

，1]，F′（x）＜0，此时F（x）单调递减，
当x∈[1，2]，F′（x）＞0，此时F（x）单调递增，
∴F（

1

2

）=

1

2

-ln（

1

2

+1）²+a＞a，F（2）=2-2ln3+a＜a
∴F（

1

2

）＞F（2）
∵函数F（x）=f（x）-x²+3x+a在[

1

2

，2]上只有一个零点，
∴

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或F（1）=0，
解得

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，
故实数a的取值范围为：

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及二次函数的单调性和零点问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．