Question

以下四个命题：
①函数f（x）=lnx²-2的零点个数是2个；
②cos²15°-sin²15°=

1

2

；
③一组数据a_i（i=1，2，3…n）的方差为3，则a_i+2（i=1，2，3…n）的方差为5．
④两个数列{a_n}和{b_n}，满足b_n=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N*），则{b_n}为等差数列的充要条件是为{a_n}等差数列．正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：解方程lnx²-2=0可得到函数f（x）=lnx²-2的零点个数，可判断①；利用二倍角的余弦公式，可判断②；根据方差的定义，可判断③；根据等差数列定义和充要条件的定义可判断④．

解答： 解：对于①，令f（x）=lnx²-2=0，解得x=±e，即方程lnx²-2=0有两个根，则函数f（x）=lnx²-2的零点个数是2个，故正确；
对于②，cos²15°-sin²15°=cos30°=

3

2

，故错误；
对于③，一组数据a_i（i=1，2，3…n）的方差为3，则a_i+2（i=1，2，3…n）的方差还为3，故错误．
对于④，两个数列{a_n}和{b_n}，满足b_n=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N*），
则b_n=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

，b_n-1=-

a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

1+2+3+…+(n-1)

，
∴

n(n+1)

2

b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，

n(n-1)

2

b_n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1，
两式相减得：

n(n+1)

2

b_n-

n(n-1)

2

b_n-1=na_n，
即

n+1

2

b_n-

n-1

2

b_n-1=a_n，
则

n+2

2

b_n+1-

n

2

b_n=a_n+1，
两式相减得：a_n+1-a_n=

n+2

2

（b_n+1-b_n）-

n-1

2

（b_n-b_n-1），
若{b_n}的公差为d，则{a_n}为公差为

3

2

d的等差数列．
反之若{a_n}的公差为d，则{b_n}为公差为

2

3

d的等差数列．
故{b_n}为等差数列的充要条件是为{a_n}等差数列．故④正确；
故答案为：①，④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了零点，二倍角公式，方差，充要条件，等差数列的定义等知识点，难度中档．