Question

16．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=EC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$．求证：
（1）AC₁∥平面BDE；
（2）A₁E⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）证明线面平行，只需证明直线与平面内的一条直线平行即可．连接AC与DB交于O，连接OE，AC₁∥OE，即可证明AC₁∥平面BDE．
（2）证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可．连接OA₁，可证OA₁⊥DB，OE⊥DB，平面A₁OE⊥DB．可得A₁E⊥DB．利用勾股定理证明A₁E⊥EB即可得A₁E⊥平面BDE．

解答 解：（1）ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，AB=BC=EC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$．
可得平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁是正方形，E为CC₁的中点．
连接AC与DB交于O，连接OE，
可得：AC₁∥OE，
OE?平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE．
（2）连接OA₁，
根据三垂线定理，可得OA₁⊥DB，OE⊥DB，OA₁∩OE=O，
∴平面A₁OE⊥DB．
可得A₁E⊥DB．
∵E为CC₁的中点．设AB=BC=EC=$\frac{1}{2}$AA₁=a
∴$BE=\sqrt{2}a$，A₁E=$\sqrt{3}a$，A₁B=$\sqrt{5}a$
∵A₁B²=A₁E²+BE²．
∴A₁E⊥EB．
∵EB?平面BDE．BD?平面BDE．EB∩BD=B，
∴A₁E⊥平面BDE．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的证明．考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象，属于中档题．