Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a₃=12，且{a_n+1-2a_n}是等比数列
（1）证明：{

an

2n

}是等差数列；
（2）求数列{

an

n

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得到an+1-2an=2n，两边同时除以2ⁿ⁺¹得答案；
（2）由{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列求其通项公式，得到数列{

an

n

}的通项公式，然后由等比数列的前n项和得答案．

解答： （1）证明：∵a₁=1，a₂=4，a₃=12，且{a_n+1-2a_n}是等比数列，
∴

an+1-2an

an-2an-1

=

a3-2a2

a2-2a1

=

12-8

4-2

=2，
又a₂-2a₁=4-2=2，
∴an+1-2an=2n，
则

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．
∴{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列；
（2）解：∵{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
∴an=

n

2

•2n=n•2n-1，
则

an

n

=2n-1，
∴数列{

an

n

}的前n项和为2⁰+2¹+2²+…+2^n-1=

1(1-2n)

1-2

=2n-1．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．