Question

15．设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）求y=f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$sin（\frac{π}{4}+φ）=±1$，即$\frac{π}{4}$+$φ=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，再由条件即可得到所求值；
（2）由正弦函数的单调减区间，解不等式可得所求区间．

解答 解：（1）由题意知y=f（x）图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$．
∴$sin（\frac{π}{4}+φ）=±1$，…（3分）
∴即$\frac{π}{4}$+$φ=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，…（6分）
又-π＜φ＜0，∴$φ=-\frac{3π}{4}$…（7分）
（2）由（1）知$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{3π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$…（10分）
解得$\frac{5π}{8}+kπ≤x≤\frac{9π}{8}+kπ$（k∈Z）…（12分）
所以函数y=f（x）的单调递减区间为$[\frac{5π}{8}+kπ，\frac{9π}{8}+kπ]（k∈Z）$…（14分）

点评 本题考查正弦函数图象和性质，考查运算能力，属于中档题．