Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{

1

an

+(-1)n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an2

，求{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：对?n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）把已知的数列递推式取倒数，得到

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，然后配方得到数列{

1

an

+(-1)n}为等比数列，再由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b_n=

1

an2

，然后利用分组求和法结合等比数列的前n项和得答案；
（3）化简sin

(2n-1)π

2

=（-1）ⁿ，得到c_n=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

，先利用放缩法证明当n≥3时
T_n＜

4

7

，然后结合T₁＜T₂＜T₃得答案．

解答： （1）证明：∵a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

，∴

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴数列{

1

an

+(-1)n}是首项为3，公比为-2的等比数列，

1

an

+(-1)n=3•(-2)n-1，即an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

；
（2）解：b_n=

1

an2

=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
Sn=9(40+41+…+4n-1)+6(20+21+…+2n-1)+n
=9•

1-4n

1-4

+6•

1-2n

1-2

+n=Sn=3•4n+6•2n+n-9；
（3）证明：∵sin

(2n-1)π

2

=（-1）ⁿ，
∴c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

，
当n≥3时，Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

4

7

，
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对?n∈N^*，T_n＜

4

7

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的和，等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程，是压轴题．