Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）若CE=1，AB=

2

，求三棱锥E-ACF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接OF，由中位线定理，得到OF∥DE，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）在△EBC中，求得△CEF的面积，再由线面垂直的性质和判定，得到AB⊥平面BCE，再由三棱锥E-ACF的体积即三棱锥A-ECF的体积，运用棱锥的体积公式即可得到．

解答： （1）证明：连接OF．由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，所以OF∥DE．
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
所以DE∥平面ACF；
（2）因为在△EBC中，BC⊥CE，F为BE的中点，CE=1，BC=

2

，
所以S△CEF=

1

2

S△BCE=

1

2

×

1

2

×

2

×1=

2

4

．
又因为底面ABCD是正方形，EC⊥底面ABCD，
所以AB⊥BC，AB⊥CE，BC∩CE=C，
所以AB⊥平面BCE，
所以三棱锥E-ACF的体积VE-ACF=VA-CEF=

1

3

×S△CEF×AB=

1

3

×

2

4

×

2

=

1

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的判断和垂直的判定和性质定理的运用，考查棱锥的体积的计算，注意三棱锥体积可用等积法，属于中档题．