Question

已知曲线y=x-

1

x

（x∈[1，2]）的两个端点为A，B，过曲线上任意一点P作x轴的垂线交线段AB于点Q，若不等式|PQ|≤

1

2

k-

2

对x∈[1，2]恒成立，则实数k的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：判断y=x-

1

x

（x∈[1，2]）的单调性，求出|PQ|的最大值，然后求解k的最小值即可．

解答： 解：函数y=x-

1

x

（x∈[1，2]）是增函数，
过曲线上任意一点P作x轴的垂线交线段AB于点Q，|PQ|≤f（2）=2-

1

2

=

3

2

．
不等式|PQ|≤

1

2

k-

2

对x∈[1，2]恒成立，
也就是k≥2|PQ|+2

2

在x∈[1，2]恒成立，
∵|PQ|的最大值为：

3

2

．
∴实数k的最小值为：3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．