Question

已知f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数F（x）=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）欲求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）欲求函数F（x）=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值，只须利用导数研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f（e）=e，f′（x）=lnx+1，f′（e）=2
∴函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程为：
y-e=2（x-e），整理，得y=2x-e．
（2）F′(x)=

1

a

(lnx+1)，
令F′（x）=0，得x=

1

e

，
当x∈（0，

1

e

），F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞），F′（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F（2a）}
∵F（a）-F（2a）=lna-2ln2a=ln

1

4a

，
∴当0＜a≤

1

4

时，F（a）-F（2a）≥0，F_max（x）=F（a）=lna，
当a＞

1

4

时，F（a）-F（2a）＜0，F_max（x）=F（2a）=2ln2a．

点评：本小题主要考查函数恒成立问题、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力和分类讨论思想．属于中档题．