Question

某工厂现有200人，人均年收入为4万元．为了提高工人的收入，工厂将进行技术改造，改造后有x（100≤x≤150）人继续留用，他们的人均年收入为4a（a∈N⁺）万元，剩下的人从事其它服务行业，这些人的人均年收入有望提高（2x）%．
（1）设技术改造后这200人的人均年收入为y万元，求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，能使这200人的人均年收入达到最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立函数关系即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）结合函数关系以及一元二次函数的单调性，即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）由题意可知技术改造后这200人的人均年收入为y=

4ax+(200-x)(1+ 2x 100 )

200

=-

1

10000

x2+

4a+3

200

•x+1，（100≤x≤150）．
（2）因为函数y=f（x）=-

1

10000

x2+

4a+3

200

•x+1为开口向下的抛物线，
所以对称轴x=-

4a+3 200

2×(- 1 10000 )

=

50(5a+3)

2

=100a+75，
因为a∈N⁺），所以对称轴x=100a+75≥175，
所以当100≤x≤150是，函数y=f（x）单调递增，
故当x=150时，函数取得最大值为f（150）=3a+1（万元）．
答当x150时，能使这200人的人均年收入达到最大，最大值为3a+1（万元）．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．