Question

4．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的特性，可得f（0）=0，结合f（1）=1，构造方程组，解得函数f（x）的解析式；
（2）利用导数法，可证得f（x）在（-1，1）上单调递增．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
又∵f（1）=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ \frac{a+b}{2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.$，
∴函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
（2）f（x）在（-1，1）上单调递增，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+2}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
当x∈（-1，1）时，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在（-1，1）上单调递增．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的证明与应用，利用导数研究函数的单调性，难度中档．