Question

14．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值为3．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把求|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．

解答 解：如图，
以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PE}$，
要使|$\overrightarrow{PQ}$|取最小值，只需|$\overrightarrow{PE}$|取最小值，
∵E为AB的中点，故当PE⊥CD时，|$\overrightarrow{PE}$|取最小值，
这时PE为梯形的中位线，
即$|\overrightarrow{PE}{|}_{min}=\frac{1}{2}$（|BC|+|AD|）=$\frac{3}{2}$，
故$|\overrightarrow{PQ}{|}_{min}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，是中档题．