Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为2，且两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，则抛物线的方程为y²=4x．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，运用代入法，求得AB，再由三角形的面积公式，结合离心率公式和a，b，c的关系，化简整理，解方程可得p，进而得到双曲线方程．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
把x=-$\frac{p}{2}$代入y=±$\frac{b}{a}$x，
解得y=±$\frac{pb}{2a}$．
∴|AB|=$\frac{pb}{a}$，
∵△AOB的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{2}$•$\frac{pb}{a}$=$\sqrt{3}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
解得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
解得p=2．
∴该抛物线的标准方程是y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查方程思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．