Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂．若椭圆上存在一点P使a²+b²-c²=2abcos（π-∠F₁PF₂），则求该椭圆离心率e的范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的上顶点为B，结合已知和余弦定理可将已知条件可转化为：椭圆上存在一点P使∠F₁PF₂=120°，进而可得离心率e的范围．

解答： 解：设椭圆的上顶点为B，
∵椭圆上存在一点P使a²+b²-c²=2abcos（π-∠F₁PF₂），
∴π-∠F₁PF₂=∠BOF₂，
而当P与B重合时，∠F₁PF₂取最大值，此时∠F₁PF₂=120°
故已知条件可转化为：椭圆上存在一点P使∠F₁PF₂=120°，
即∠F₁BF₂≥120°，
即-1＜

a2+a2-(4c)2

2a2

≤-

1

2

即

3

4

≤

c2

a2

＜1，
即

3

4

≤e2＜1，
解得：e∈[

3

2

，1），
故椭圆离心率的取范围是[

3

2

，1）．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．