Question

13．设函数$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，观察：${f_1}（x）=f（x）=\frac{x}{x+2}$，${f_2}（x）=f（{f_1}（x））=\frac{x}{3x+4}$，${f_3}（x）=f（{f_2}（x））=\frac{x}{7x+8}$，${f_4}（x）=f（{f_3}（x））=\frac{x}{15x+16}$，…，根据以上事实，当n∈N^*时，由归纳推理可得：f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．

解答 解：由${f_1}（x）=f（x）=\frac{x}{x+2}$，${f_2}（x）=f（{f_1}（x））=\frac{x}{3x+4}$，${f_3}（x）=f（{f_2}（x））=\frac{x}{7x+8}$，${f_4}（x）=f（{f_3}（x））=\frac{x}{15x+16}$，…
归纳可得：f_n（x）=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$，（n∈N^*）
∴f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．
故答案为$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．