Question

1．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求出圆心到直线的距离，即可求P到直线l的距离的最小值．

解答 解：（Ⅰ）直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消去参数t得普通方程y=x-4…（2分）
由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，以及x²+y²=ρ²，
整理得：x²+（y-2）²=4…（5分）
（Ⅱ）由（x-2）²+y²=0得圆心坐标为（0，2），半径R=2，
则圆心到直线的距离为：$d=\frac{{|{2-0+4}|}}{{\sqrt{2}}}=3\sqrt{2}$，…（7分）
而点P在圆上，即O'P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足点）
所以P到直线l的距离最小值为$3\sqrt{2}-2$．…（10分）

点评 本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．