Question

已知函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）用五点法作出它的简图；
（3）该函数的图象是由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过恒等变换把函数变形成正弦型函数，进一步求出函数的振幅、周期、初相．
（2）先求出常见的五点（

π

12

，0）、（

π

3

，

7

4

）、（

7π

12

，

5

4

）、（

5π

6

，

3

4

）、（

13π

12

，0）
然后在坐标系内画出简图．
（3）先由y=sinx（x∈R）的图象的所有横坐标缩短为原来的一半得到y=sin2x的图象，再把y=sin2x的图象向左平移

π

12

各单位，得到y=sin（2x+

π

6

）的图象，再把y=sin（2x+

π

6

）的图象所有纵坐标压缩为原来的

1

2

得到      y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象，再把y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象向上平移

5

4

各单位得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的图象．

解答： 解：（1）函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1

2

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x

2

+1=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

则：振幅A=

1

2

  周期T=

2π

2

=π 初相Φ=

π

6

（2）根据五点法（

π

12

，

5

4

）、（

π

3

，

7

4

）、（

7π

12

，

5

4

）、（

5π

6

，

3

4

）、（

13π

12

，

5

4

）



（3）先由y=sinx（x∈R）的图象的所有横坐标缩短为原来的一半得到y=sin2x的图象，再把y=sin2x的图象向左平移

π

12

各单位，得到y=sin（2x+

π

6

）的图象，再把y=sin（2x+

π

6

）的图象所有纵坐标压缩为原来的

1

2

得到y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象，再把y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象向上平移

5

4

各单位得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的图象．

点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的振幅、周期、初相，用五点法做三角函数的图象，三角函数的平移变换和伸缩变换．