Question

18．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中点．
（1）求证：A₁C∥平面BED；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，先求得相关点的坐标，从而得到$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（3，3，-4），$\overrightarrow{EO}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，-2），然后由共线向量定理证明即可．
（2）分别求得二个半平面的一个法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，则$\overrightarrow{AE}$=（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一个法向量为，用向量的夹角公式求解．

解答 （1）证明：如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，连接EO．
A₁（0，0，4），C（3，3，0），E（0，0，2），O（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）（2分）
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（3，3，-4），$\overrightarrow{EO}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，-2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=2$\overrightarrow{EO}$，∴A₁C∥EO．
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．（5分）
（2）解：由于AE⊥平面ABCD，
则$\overrightarrow{AE}$=（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．（6分）
B（3，0，0），D（0，3，0），
$\overrightarrow{BE}$=（-3，0，2），$\overrightarrow{BD}$=（-3，3，0），
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
得$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2z=0}\\{-3x+3y=0}\end{array}\right.$
令z=3，则$\overrightarrow{n}$=（2，2，3）．（7分）
cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$=$\frac{6}{2\sqrt{17}}$，
∴二面角E-BD-A的正切值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．（10分）

点评 本题主要考查用空间坐标法来求二面角，线面平行，作为向量法在解决立体几何中的平行，垂直，角和距离有不可比拟的优越性，要灵活运用．