Question

（1）已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q，
若P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，求实数a的值．
（2）函数f（x）定义在R上且f（x）=-f（x+

3

2

），当

1

2

≤x≤3时，f（x）=log₂（ax²-2x+2），若f（35）=1，求实数a的值．

Answer 1

考点：交集及其运算,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）结合题意，得出不等式ax²-2x+2＞0的解集为（-2，

2

3

）．说明a为负数且

2 a =-2+ 2 3 2 a =2× 2 3

，可得实数a的值；
（2）由f（x）=-f（x+

3

2

），得f（x）=-f（x+

3

2

）=f（x+

3

2

+

3

2

）=f（x+3），得f（x）的周期为3，知f（35）=f（2），由此能求出a．

解答： 解：（1））∵P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，
∴Q=（-2，

2

3

）．
即不等式ax²-2x+2＞0的解集为=（-2，

2

3

）．
∴a＜0且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

，
∴a=-

3

2

．
（2）∵函数f（x）定义在R上且f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x）=-f（x+

3

2

）=f（x+

3

2

+

3

2

）=f（x+3），
∴f（x）的周期为3，
f（35）=f（3×11+2）
=f（2）
=log₂（a•2²-4+2）
=1，
所以a=1．

点评：本题考查集合的混合运算和函数周期性的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．