Question

若数列{b_n}中b_n+1=

3bn+4

2bn+3

，b₁=2，证明：

2

＜b_n≤

2

（1+（

2

-1）^4n-3）．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：用数学归纳法证明．（1）当n=1时，结论成立；（2）假设n=k时，结论成立．由此推导出当n=k+1时，结论成立．由（1）（2）知：

2

＜b_n≤

2

（1+（

2

-1）^4n-3）．

解答： 证明：（1）当n=1时，∵

2

＜2，b₁=2，

2

[1+(

2

-1)]=2，
∴

2

＜b₁≤

2

（1+（

2

-1）^4-3）．结论成立．
（2）假设n=k时，结论成立，
即：

2

＜b_k≤

2

（1+（

2

-1）^4k-3）．
则当n=k+1时，bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

=

(3-2 2 )bk+(4-3 2 )

2bk+3

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＞0，
又

1

2bk+3

＜

1

2 2 +3

=3-2

2

，
∴bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜（3-2

2

）²（b_k-

2

）
≤（

2

-1）⁴（

2

（1+（

2

-1）^4n-3-

2

）
=

2

（1+（

2

-1）^4（n+1）-3）-

2

．
即n=k+1时，结论成立．
∴由（1）（2）知：

2

＜b_n≤

2

（1+（

2

-1）^4n-3）．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．