Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点恰与抛物线y²=4

3

x的焦点重合，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．圆C₂以坐标原点为圆心，C₁的长轴为直径（如图）．C是椭圆短轴端点，动直线AB过点C且与圆C₂交于AB两点，D为椭圆上的点且满足

CD

•

AB

=0．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求△ABD面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出c=

3

，2a=4，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线AB斜率为0时，S_△ABC=2

3

；当直线AB斜率不为0时，设直线AB：y=kx+1，则直线CD：y=-

1

k

x+1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 k x+1

，得（k²+4）x²-8kx=0，由此能求出△ABC面积最大值和直线AB的方程．

解答： （本小题满分（12分），（1）小问（4分），（2）小问8分）
解：（1）由题意知抛物线y2=4

3

x的焦点为(

3

，0)，
则椭圆中c=

3

，
又由2a=4且a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
故椭圆方程是

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）因为

CD

•

AB

=0，
所以直线AB垂直直线CD，显然直线AB斜率存在．
①当直线AB斜率为0时，即AB∥x轴，
此时|AB|=2

3

，|CD|=2，S△ABC=

1

2

|AB|•|CD|=2

3

…（5分）
②当直线AB斜率不为0时，
设直线AB：y=kx+1，则直线CD：y=-

1

k

x+1，
所以圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

1

1+k2

，
所以直线AB被圆C₂所截得的弦|AB|=2

4-d2

=

2 4k2+3

k2+1

…（7分）
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 k x+1

，得（k²+4）x²-8kx=0，
所以△=64k²＞0（k≠0）恒成立，xC+xD=

8k

k2+4

，…（8分）
则|CD|=

1+( 1 k )2

(xC+xD)2-4xCxD

=

8 k2+1

k2+4

…（9分）
所以S△ABC=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

×

2 4k2+3

k2+1

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

…（10分）
令t=

4k2+3

，则k2=

t2-3

4

，t²＞3，
S△ABC=

8t

t2-3 4 +4

=

32t

t2+13

=

32

t+ 13 t

≤

32

2 13

=

16 13

13

，…（11分）
当t=

13

t

⇒t=

13

，即

4k2+3

=

13

⇒k=±

10

2

时，等号成立．
综上述，△ABC面积最大值为

16 13

13

，
此时直线AB的方程为y=±

10

2

x+1…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．