Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆上一点A(-1，-

3

2

)到其两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）如果斜率为

1

2

的直线与椭圆交于E，F两点，试判断直线AE，AF的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值．若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆上一点A(-1，-

3

2

)到其两焦点的距离之和为4，建立方程，求出a，b，即可椭圆C的标准方程；
（2）设直线EF的方程为：y=

1

2

x+m，代入

x2

4

+

y2

3

=1，求出直线AE、AF的斜率之和，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵椭圆上一点A(-1，-

3

2

)到其两焦点的距离之和为4，
∴2a=4，

1

a2

+

9 4

b2

=1，
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线EF的方程为：y=

1

2

x+m，
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：x²+mx+m²-3=0．△=m²-4（m²-3）＞0且x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3
设A（x₀，y₀），由题意，k_AE=

y1-y0

x1-x0

，k_AF=

y2-y0

x2-x0

∴k_AE+k_AF=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

，
化简得分子为：t=y₁x₂+y₂x₁-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀，
又y₁=

1

2

x₁+m，y₂=

1

2

x₂+m，
∴t=（x₁+x₂）（y₁+y₂）-x₁y₁-x₂y₂-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀
=（m+2）（x₁+x₂）+x₁x₂+2m+3=（m+2）（-m）+m²-3+2m+3=0，
∴k_AE+k_AF=0．
即直线AE、AF的斜率之和是为定值0．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．