Question

13．如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．
①求证：PQ∥平面BCC₁B₁．
②设M为直线C₁D₁中点，求异面直线PQ与AM的夹角．

Answer 1

分析 ①由题意：P、Q是单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．则P，Q分别是A₁B，AC的中点．取A₁ A，AD的中点N，F，连接PN，NF，QF，可得面面平行转化成线面平行．
②通过补形在该正方体右边补一个正方体CC₁D₁D-C₂C₃ D₃D₂，C₂ D₂ 的中点为M₁，PQ∥FN∥A₁D，那么角A₁ D M₁为异面直线PQ与AM的夹角．

解答 解：①证明：由题意：P、Q是单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．则P，Q分别是A₁B，AC的中点．取A₁ A，AD的中点N，F，连接PN，NF，QF，可得PQ∥FN，NF∥平面BCC₁B₁．
∴PQ∥平面BCC₁B₁．
②在该正方体右边补一个正方体C C₂ D₂D-C₁ C₃ D₃ D₁，C₃ D₃ 的中点为M₁，PQ∥FN∥A₁D，那么∠A₁ D M₁为异面直线PQ与AM的夹角．
∵$\begin{array}{l}{A_1}D=\sqrt{2}，D{M_1}=\sqrt{1+\frac{5}{4}}=\frac{3}{2}，{A_1}{M_1}=\sqrt{{2^2}+\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}\\∴{A_1}{D^2}+D{M_1}^2={A_1}{M_1}^2\end{array}$
所以在三角形A₁ D M₁中，角A₁ D M₁为90°，即为PQ与Ma所成角的值为90°．

点评 本题考查了直线与平面平行的证明和异面直线所成的角的求法．补形法也是一直常见的方法．属于中档题．