Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，椭圆C上一点到焦点的最小值为

2

-1．
（1）求a，b的值；
（2）已知F₁、F₂为椭圆C的两个焦点，AB是过焦点F₁的一条动弦，求△ABF₂的面积最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆C的离心率为

2

2

，椭圆C上一点到焦点的最小值为

2

-1．可得

a-c= 2 -1 c a = 2 2 b2=a2-c2

，解出即可；
（2）由（1）可得椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．AB：y=kx-1代入椭圆C的方程得：（k²+2）x²-2kx-1=0，利用根与系数的关系可得|y₂-y₁|，再利用S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y2-y1|和基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）由椭圆C的离心率为

2

2

，椭圆C上一点到焦点的最小值为

2

-1．
可得

a-c= 2 -1 c a = 2 2 b2=a2-c2

解得a=

2

，b=1=1
（2）由（1）可得椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．
AB：my=x+1代入椭圆C的方程得：（m²+2）y²-2my-1=0，
∴y₁+y₂=

2m

m2+2

，y1y2=

-1

m2+2

．∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2m m2+2 )2+ 4 m2+2

=2

2

•

m2+1

m2+2

∴S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y2-y1|=

1

2

×2×2

2

•

m2+1

m2+2

=2

2

×

1

m2+1 + 1 m2+1

≤

2 2

2

，当且仅当m=0时取等号，
∴(S△ABF2)max=

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．