Question

己知F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C上的动点，且当点A在y轴上时，

F1A

•

F1F2

=2S △F1F2A
（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知

AF1

•

AF2

的最大值为1，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,向量在几何中的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可取A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0）．由于S△F1F2A=

1

2

×2c×b=bc.

F1A

•

F1F2

=2S △F1F2A，利用数量积运算可得2c²=2bc，解得a，b，c即可．．
（2）利用数量积的性质可得：

AF1

•

AF2

≤|

AF1

| |

AF2

|，取等号时，点A为椭圆位于椭圆的右端点，而|

AF1

| |

AF2

|=（a-c）（a+c）=1，可得

a2-c2=1 b=c a2=b2+c2

，解得即可．

解答： 解：（1）由题意可取A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0）．
∴

F1A

=（c，b），

F1F2

=（2c，0），S△F1F2A=

1

2

×2c×b=bc．
∵

F1A

•

F1F2

=2S △F1F2A，
∴2c²=2bc，解得b=c
．∴a=

b2+c2

=

2

c．
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）

AF1

•

AF2

=|

AF1

| |

AF2

|cos∠F1AF2≤|

AF1

| |

AF2

|，取等号时，点A为椭圆位于椭圆的右端点，
∴|

AF1

| |

AF2

|=（a-c）（a+c）=1，
联立

a2-c2=1 b=c a2=b2+c2

，
解得b=c=1，a²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的数量积运算及其性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．