Question

18．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{1}{2}$，过C₁的左焦点F₁的直线l：x-y+2=0，直线l被圆C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设C₁的右焦点为F₂，在圆C₂上是否存在点P，满足|PF₁|=$\frac{a}{b}$|PF₂|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）求出F₁点坐标即可得出c，进而利用离心率得出a，b，求出椭圆方程；
（II）利用垂径定理求出圆C₂的半径r，根据|PF₁|=$\frac{a}{b}$|PF₂|列方程求出P点轨迹方程，根据轨迹与圆C₂有无交点得出结论．

解答 解：（Ⅰ）直线与x轴的交点坐标为（-2，0），∴F₁（-2，0）．
即c=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=4，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）∵圆心C₂（3，3）到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又直线l被圆C₂截得的弦长为2$\sqrt{2}$，
∴圆C₂的半径r=$\sqrt{{d}^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2，
故圆C₂的方程为（x-3）²+（y-3）²=4．
设圆C₂上存在点P（x，y），满足|PF₁|=$\frac{a}{b}$|PF₂|，即|PF₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|PF₂|，
又F₁（-2，0），F₂（2，0），∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得（x-14）²+y²=192，表示圆心在C（14，0），半径是8$\sqrt{3}$的圆．
∴|CC₂|=$\sqrt{（14-3）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{130}$＜8$\sqrt{3}$-2，
∴两圆没有公共点．
∴圆C₂上不存在点P满足|PF₁|=$\frac{a}{b}$|PF₂|．

点评 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆，直线与圆的位置关系，属于中档题．