Question

8．定义在实数域上的偶函数f（x）对于?x∈R，均满足条件f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有5个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性判断f（x）的周期，作出f（x）和y=log_a（x+1）在（0，+∞）上的函数图象，根据交点个数判断y=log_a（x+1）的特殊点位置．

解答 解：令x=-1得f（1）=f（-1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）的周期为2．
作出f（x）的函数图象如图所示：

∵y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有5个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}5＞-2}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，属于中档题．