Question

【题目】已知函数.

（1）当时,讨论函数的单调性；

（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，不等式在时恒成立,等价于在(1，+∞)上恒成立，令，先证明当时，不合题意，再分两种情况讨论即可筛选出符合题意的实数的取值范围.

（1）由题意，知,

∵当a<0，x>0时，有.

∴x>1时，；当0<x<1时，.

∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.

（2）由题意，当a=1时，不等式在x∈(1，+∞)时恒成立.

整理，得在(1，+∞)上恒成立.

令.

易知，当b≤0时，，不合题意.

∴b>0

又，.

①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.

∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.

所以,符合题意；

②时，,,

又在[1，+∞)上单调递减,

∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.

∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.

又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意.

综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).