题目内容
【题目】在直角坐标系中,点
,圆
的圆心为
,半径为2.
(Ⅰ)若,直线
经过点
交圆
于
、
两点,且
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若圆上存在点
满足
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)或
.(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)勾股定理求出圆心到直线的距离d,利用d=1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论;(Ⅱ)设,由
求出x、y满足的关系式,可得点
在圆
上,推出圆
与圆
有公共点,所以
,列出不等式求解即可.
(Ⅰ)当,圆心
为
,
圆的方程为
,
设圆心到直线
的距离为
,则
.
①若直线的斜率存在,设直线
的方程为
,即
,
,解得
,
此时的方程为
,即
.
②若直线的斜率不存在,直线
的方程为
,验证满足
,符合题意.
综上所述,直线的方程为
或
.
(Ⅱ)设,则
,
于是
由得
,即
,
所以点在圆
上,又点
在圆
上,
故圆与圆
有公共点,即
,
于是,解得
,
因此实数的取值范围是
.
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