Question

1．如图，已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，动点P在双曲线的右支上（P点不在x轴上），△PF₁F₂的内切圆（I为圆心）与x轴切于E点．
（1）求证：E点是双曲线的右顶点；
（2）过F₂作直线PI的垂线，且交直线PI于M点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标．
（2）在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F₁CF₂中，利用中位线定理得出OM，从而解决问题．

解答 （1）证明：∵点P是双曲线右支上一点，
∴按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，
设E（x，0），B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：
则有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）=BF₁-CF₂=EF₁-F₂E
=（c+x）-（c-x）=2x=2a
∴x=a
∴E（a，0）．
∴E点是双曲线的右顶点；
（2）解：在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OM=$\frac{1}{2}$CF₁=$\frac{1}{2}$（PF₁-PC）=$\frac{1}{2}$（PF₁-PF₂）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
∴点M的轨迹方程是x²+y²=a²．

点评 本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等．