题目内容
11．
如图所示，将一个边长为1的正方形沿中线对半分成面积相等的两个长方形，再将其中的一个长方形沿中线对半分成面积相等顶点两个正方形，如此下去，得到一系列小正方形，依次记这些小正方形的面积为a1，a2，a3，…（1）写出以这些小正方形面积构成的数列{an}的通项公式；
（2）猜测所有这些小正方形面积的和大约是多少？
分析 （1）由题意可得：a1=$（\frac{1}{2}）^{2}$，a2=$（\frac{1}{2}）^{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$，a3=$（\frac{1}{2}）^{6}$，…，利用等比数列的通项公式可得：an．
（2）数列{an}是公比为$\frac{1}{4}$的等比数列．所有这些小正方形面积的和大约是$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．
解答 解：（1）由题意可得：a1=$（\frac{1}{2}）^{2}$，a2=$（\frac{1}{2}）^{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$，a3=$（\frac{1}{2}）^{6}$，…，可得：an=$（\frac{1}{2}）^{2n}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
（2）数列{an}是公比q为$\frac{1}{4}$的等比数列．
所有这些小正方形面积的和大约是$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$．
故所有这些小正方形面积的和大约是$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，动点P在双曲线的右支上（P点不在x轴上），△PF1F2的内切圆（I为圆心）与x轴切于E点．
16．函数y=log3（x+2）+log3（4-x）的值域是（ ）
| A． | R | B． | [2，+∞） | C． | （-∞，2] | D． | [-3，+∞） |