Question

给出下列四个命题：
①已知直线a、b和平面α，若a∥b，且a∥α，则b∥α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则直线y=

b

a

x+m(m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：利用线面平行的判定定理判断①，结合抛物线的定义及条件判断②，利用双曲线渐近线的性质判断③，利用面面垂直的判定定理判断④．

解答： 解：①线面平行的判定定理前提条件是直线b?α，所以条件中没有b?α，所以①错误；
②当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误；
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程是y=

b

a

x，
则当m=0时，直线y=

b

a

x+m(m∈R）与渐近线重合，此时直线与双曲线没有公共点；
当m≠0时，直线y=

b

a

x+m(m∈R）与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，所以③错误；
④根据面面垂直的性质定理可知，只有当平面内的直线垂直于交线时，才垂直于另一个平面，否则将不和另一个平面垂直，所以④正确．
综上得，正确命题的序号为④，
故答案为：④．

点评：本题考查空间线面平行、垂直的判定定理，直线与圆锥曲线位置关系的判断，以及命题的真假判断，比较综合，考查学生对知识的掌握情况．