Question

如图所示，已知PD垂直以AB为直径的圆O所在平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且BD=

3

PD=3，AC=2AD=2．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的性质证明CD⊥平面PAB即可．
（2）根据体积相等，建立体积关系即可得到结论．

解答： 证明：（1）由BD=

3

PD=3，AC=2AD=2．知AB=4，A0=2，则点D为AO的中点，
连OC，
∵AO=AC=OC=2A，∴△AOC为等边三角形，
∵D为AO的中点，∴CD⊥AO，
∵PD⊥平面ABC，CD?面ABC，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO=D，PD?面PAB，AO?面PAB，
∴CD⊥平面PAB，
∵PA?面PAB，
∴PA⊥CD；
解：（2）由（1）知CD⊥AB，CD=

3

，S△ABC=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∵PD⊥平面ABC，VP-ABC=

1

3

S△ABC×PD=

1

3

×2

3

×

3

=2，
则直角三角形PCD中，PC=

PD2+CD2

=

6

，
在直角三角形PAD中，PA=

PD2+AD2

=2，
在等腰三角形PAC中，PC边上的高为

22-( 6 2 )2

=

10

2

，
S△APC=

1

2

×

6

×

10

2

=

15

2

，
设B到平面PAC的距离为d，由V_P-ABC=V_B-PAC，
∴

1

3

×

15

2

×d=2，
解得d=

4 15

5

，
即点B到平面PAC的距离

4 15

5

点评：本题主要考查线面垂直的性质以及点到平面的距离的计算，根据体积相等是解决本题的关键．