Question

解方程组

b+ 3 a-3 = 3 (a-1)2+b2 =1+ |a+ 3 b| 2

．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由方程的几何意义根据坐标轴旋转得到方程组在新系下的方程，联立后求得交点坐标，还原后得答案．

解答： 解：方程

(a-1)2+b2

=1+

|a+ 3 b|

2

的几何意义为动点（a，b）到定点（1，0）的距离等于动点（a，b）到定直线a+

3

b=0的距离加1，
令

a′=acos(- π 6 )+bsin(- π 6 ) b′=-asin(- π 6 )+bcos(- π 6 )

，
则定点（1，0）化为（

3

2

，

1

2

），定直线a+

3

b=0化为b′=0，
则方程

(a-1)2+b2

=1+

|a+ 3 b|

2

在新坐标系下的方程为(a′-

3

2

)2=

3

2

(b′-

3

4

)  ①，
方程

b+ 3

a-3

=

3

化为：a′=2

3

  ②，
联立①②得：

a′=2 3 b′= 21 4

．
则a=

3

2

a′+

1

2

b′=

45

8

，b=

3

2

b′-

1

2

a′=

13 3

8

．
∴原方程组的解为

a= 45 8 b= 13 3 8

．

点评：本题考查了抛物线的几何意义，考查了坐标轴旋转问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．