Question

已知双曲线x²-

y2

2

=1的顶点、焦点分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线和椭圆的性质进行求椭圆的方程；
（2）假设存在符合题意的直线，根据直线PA、PB的倾斜角互为补角得出斜率之间的关系，进而求解．

解答： 解：（Ⅰ）在双曲线x²-

y2

2

=1中，a=1，b=

2

，c=

3

，…（2分）
∴a′=c=

3

，c′=a=1，b′²=2     …（3分）
所以，椭圆C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1              …（4分）
（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．
不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0…（5分）
由

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0  …（6分）
设A（x₁，y₁）则x1+x2=

6k2

3k2+2

，x1•x2=

3k2-6

3k2+2

…（8分）
∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴k_PA+k_PB=0对一切k恒成立，…（9分）
即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0对一切k恒成立 …（10分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0对一切k恒成立…（11分）
∴2×

3k2-6

3k2+2

+2m-（m+1）×

6k2

3k2+2

=0对一切k恒成立，…（12分）
即

4m-12

3k2+2

=0，4m-12=0，
∴m=3，…（13分）
∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分）

点评：本题主要考查双曲线、椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．