Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点A（${\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}}$）在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点P（-4t，t）在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：CD∥AB．

Answer 1

分析 （1）将点A代入椭圆方程，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，联立求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）根据对称性求得B点坐标，$\overrightarrow{AP}={λ_1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ_2}\overrightarrow{PD}$，求得x₁和y₁，代入椭圆方程，求得$（{λ_1}+1）•18{t^2}={λ_1}-1$，同理求得（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，两式相减求得λ₁=λ₂，因此可证明CD∥AB．

解答 解：（1）将点A代入椭圆方程得：$\frac{{{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（{\frac{2}{3}}）}^2}}}{b^2}=1$，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得：a²=1，${b^2}=\frac{1}{2}$，
所以，椭圆E的方程为：x²+2y²=1．
（2）∵$A（\frac{1}{3}，\;\frac{2}{3}）$，
∴$B（-\frac{1}{3}，\;-\frac{2}{3}）$．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），$\overrightarrow{AP}={λ_1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ_2}\overrightarrow{PD}$，其中：λ₁，λ₂∈（0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{{（{λ_1}+1）（-4t）-\frac{1}{3}}}{λ_1}\\{y_1}=\frac{{（{λ_1}+1）t-\frac{2}{3}}}{λ_1}\end{array}\right.$，代入椭圆方程并整理得，$（{λ_1}+1）•18{t^2}={λ_1}-1$，
同理得，（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，
两式相减得：（λ₁-λ₂）•（18t²-1）=0．
∵点P（-4t，t）在椭圆E内部，
∴18t²＜1，
∴λ₁=λ₂，
∴CD∥AB．

点评 本题考查求椭圆的方程，利用向量共线定理证明两直线平行，点的对称性，考查综合分析问题及解决问题的能力，属于中档题．