Question

18．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值为7，则$\frac{6}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为7．

Answer 1

分析 由x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，画出可行域：利用图象可知：当z=a（4x+2y）+b直线过（2，-1）时，z取得最大值7．得到6a+b=7．再利用基本不等式即可得出答案．

解答 解：由x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，画出可行域：

∵a＞0，b＞0，z=a（4x+2y）+b，
∴y=-2x+$\frac{z-b}{2a}$，其斜率-2＜0，在y轴上的截距为$\frac{z-b}{2a}$，
由图象可知：当此直线过点（2，-1）时，z=a（4x+2y）+b取得最大值7．
即6a+b=7．
∴$\frac{6}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{7}$（$\frac{6}{a}$+$\frac{1}{b}$）（6a+b）=$\frac{1}{7}$（37+$\frac{6b}{a}$+$\frac{6a}{b}$）≥$\frac{1}{7}$（37+2$\sqrt{\frac{6b}{a}•\frac{6a}{b}}$）=7，
当且仅当a=b=1时取等号．
∴$\frac{6}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为7．
故答案为：7

点评 本题考查了线性规划的有关知识与基本不等式的性质，属于中档题．