Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过$M（0，-\frac{1}{3}）$的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆经过D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D．当直线AB与x轴垂直时，D在圆上；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为$y=kx-\frac{1}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得9（2k²+1）x²-12kx-16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积公式，结合已知条件能推导出点D在圆上．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过D（0，1），
∴b=1．（1分）
∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=$\sqrt{2}$．（3分）
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．（4分）
（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：（5分）
当直线AB与x轴垂直时，由题意知D在圆上，（6分）
当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为$y=kx-\frac{1}{3}$．（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得9（2k²+1）x²-12kx-16=0，
△=144k²+64×9（2k²+1）＞0，（8分）
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{3（2{k}^{2}+1）}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{16}{9（2{k}^{2}+1）}$，（9分）
$\overrightarrow{DA}=（{x_1}，{y_1}-1）$，$\overrightarrow{DB}=（{x_2}，{y_2}-1）$．
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}={x_1}{x_2}+（{y_1}-1）（{y_2}-1）$（10分）
=${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}-\frac{4}{3}）（k{x}_{2}-\frac{4}{3}）$
=（1+k²）x₁x₂-$\frac{4}{3}k$（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$
=（1+k²）[-$\frac{16}{9（2{k}^{2}+1）}$]-$\frac{4}{3}k$•$\frac{3k}{3（2{k}^{2}+1）}$+$\frac{16}{9}$=0，（11分）
∴DA⊥DB，∴点D在圆上．
综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点是否在圆上的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量数量积公式、椭圆性质的合理运用．